高中数学北师大版必修五教案21 典例分析正余弦定理在解决三角形问题中的应用.docx
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高中数学北师大版必修五教案21典例分析正余弦定理在解决三角形问题中的应用
正余弦定理在解决三角形问题中的应用
典型例题分析:
一、判定三角形的形状
例1根据下列条件判断三角形ABC的形状:
(1)若a2tanB=b2tanA;
解:
由已知及正弦定理得
(2RsinA)2
=(2RsinB)2
2sinAcosA=2sinBcosB
sin2A=sin2B
2cos(A+B)sin(A–B)=0
∴A+B=90o或A–B=0
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;
解:
由正弦定理得
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC
∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,
即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,
故△ABC是直角三角形.
(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1.
解:
(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1
[2sin
cos
+sin(A+B)]–[2cos
cos
+2cos2
-1]=0
[2sin
cos
+sin(A+B)]–2cos
cos
-2sin2
=0
(sin
-cos
)(cos
-sin
)=0
sin(
-
)sin
sin
=0
△ABC是Rt△。
二、三角形中的求角或求边长问题
例2、△ABC中,已知:
AB=2,BC=1,CA=
,分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F,使△DEF是等边三角形(如图1)。
设∠FEC=α,问sinα为何值时,△DEF的边长最短?
并求出最短边的长。
图1
分析:
要求最短边的长,需建立边长关于角α的目标函数。
解:
设△DEF的边长为x,显然∠C=90°,∠B=60°,故EC=x·cosα。
因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B,所以∠EDB=α。
在△BDE中,由正弦定理得
,
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