21一元二次方程教案725.docx
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21一元二次方程教案725
课题:
《2.1花边有多宽
(1)》
教学目标:
1、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。
2、渗透“夹逼”思想
教学重点难点:
用“夹逼”方法估算方程的解;求一元二次方程的近似解。
教学方法:
讲授法
教学用具:
幻灯片
教学程序:
一、复习:
1、什么叫一元二次方程?
它的一般形式是什么?
一般形式:
ax2+bx+c-0(a≠0)2、指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)2x2―x+1=0
(2)―x2+1=0(3)x2―x=0(4)―
x2=0
二、新授:
1、估算地毯花边的宽。
地毯花边的宽x(m),满足方程(8―2x)(5―2x)=18
也就是:
2x2―13x+11=0你能求出x吗?
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由;x不可能小于0,因为x表示地毯的宽度。
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
为什么?
x不可能大于4,也不可能大于2.5,x>4时,5―2x<0,x>2.5时,5―2x<0.
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
(3)完成下表
从左至右分别11,4.75,0,―4,―7,―9
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
与同伴交流。
地毯花边1米,另,因8―2x比5―2x多3,将18分解为6×3,8―2x=6,x=1
2、例题讲析:
例:
梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=102也就是x2+12x―15=0
(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(2)x的整数部分是几?
十分位是几?
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x―15
-15
-8.75
-2
5.25
13
所以1 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x―15 -0.59 0.84 2.29 3.76 x的整数部分是1,十分位是1 注意: (1)估算的精度不适过高。 (2)计算时提倡使用计算器。 三、巩固练习: P47,随堂练习1 四、小结: 估计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高。 五、作业: P47,习题2.2: 1、2 配方法(第一课时) 教学目标: 1、会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程; 2、理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程; 3、体会转化的数学思想,用配方法解一元二次方程的过程。 教学程序: 一、复习: 1、解下列方程: (1)x2=9 (2)(x+2)2=16 2、什么是完全平方式? 利用公式计算: (1)(x+6)2 (2)(x- )2 注意: 它们的常数项等于一次项系数一半的平方。 3、解方程: (梯子滑动问题)x2+12x-15=0 二、新授: 1、引入: 像上面第3题,我们解方程会有困难,是否将方程转化为第1题的方程的形式呢? 2、解方程的基本思路(配方法) 如: x2+12x-15=0转化为(x+6)2=51 两边开平方,得x+6=± ∴x1= ―6x2=― ―6(不合实际) 因此,解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n≥0时,两边开平方便可求出它的根。 3、配方: 填上适当的数,使下列等式成立: (1)x2+12x+=(x+6)2 (2)x2―12x+=(x―)2 (3)x2+8x+=(x+)2 从上可知: 常数项配上一次项系数的一半的平方。 4、讲解例题: 例1: 解方程: x2+8x―9=0 分析: 先把它变成(x+m)2=n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解。 解: 移项,得: x2+8x=9 配方,得: x2+8x+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方) 即: (x+4)2=25 开平方,得: x+4=±5 即: x+4=5,或x+4=―5 所以: x1=1,x2=―9 5、配方法: 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。 三、巩固练习: P50,随堂练习: 1 四、小结: (1)什么叫配方法? (2)配方法的基本思路是什么? (3)怎样配方? 五、作业: P50习题2.31、2 六、教学后记 配方法 (二) 教学目标: 1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。 2、进一步理解配方法的解题思路。 教学重点、难点: 用配方法解一元二次方程的思路;给方程配方。 教学程序: 一、复习: 1、什么叫配方法? 2、怎样配方? 方程两边同加上一次项系数一半的平方。 3、解方程: (1)x2+4x+3=0 (2)x2―4x+2=0 二、新授: 1、例题讲析: 例3: 解方程: 3x2+8x―3=0 分析: 将二次项系数化为1后,用配方法解此方程。 解: 两边都除以3,得: x2+ x―1=0 移项,得: x2+ x=1 配方,得: x2+ x+( )2=1+( )2(方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+ )2=( )2 即: x+ =± 所以x1= ,x2=―3 2、用配方法解一元二次方程的步骤: (1)把二次项系数化为1; (2)移项,方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项。 (3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 (4)用直接开平方法求出方程的根。 3、做一做: 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系: h=15t―5t2 小球何时能达到10m高? 三、巩固: 练习: P51,随堂练习: 1 四、小结: 1、用配方法解一元二次方程的步骤。 (1)化二次项系数为1; (2)移项;(3)配方: (4)求根。 五、作业: P33,习题2.41、2 六、教学后记 配方法(三) 教学目标: 1、经历到方程解决实际,问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,培养学生数学应用的意识和能力; 2、进一步掌握用配方法解题的技能 教学重点、难点: 列一元二次方程解方程。 教学程序: 一、复习: 1、配方: (1)x2―3x+=(x―)2 (2)x2―5x+=(x―)2 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么? 3、用配方法解下列一元二次方程? (1)3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0 二、引入课题: 我们已经学习了用配方法解一元二次方程,在生产生活中常遇到一些问题,需要用一元二次方程来解答,请同学们将课本翻到54页,阅读课本,并思考: 三、出示思考题: 1、如图所示: (1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程? (16-2x)(12-2x)= ×16×12 (2)一元二次方程的解是什么? x1=2x2=12 (3)这两个解都合要求吗? 为什么? x1=2合要求,x2=12不合要求,因荒地的宽为12m,小路的宽不可能为12m,它必须小于荒地宽的一半。 2、设花园四角的扇形半径均为xm,可列怎样的一元二次方程? x2π= ×12×16 (2)一元二次方程的解是什么? X1= ≈5.5X2≈-5.5 (3)合符条件的解是多少? X1=5.5 3、你还有其他设计方案吗? 请设计出来与同伴交流。 (1)花园为菱形? (2)花园为圆形 (3)花园为三角形? (4)花园为梯形 四、练习: P56随堂练习 五、小结: 1、本节内容的设计方案不只一种,只要合符条件即可。 2、设计方案时,关键是列一元二次方程。 3、一元二次方程的解一般有两个,要根据实际情况舍去不合题意的解。 六、作业: P56,习题2.5,1、2 七、教学后记: 2.3 公式法 目 标1.一元二次方程的求根公式的推导;2.会用求根公式解一元二次方程。 重 点一元二次方程的求根公式. 难 点求根公式的条件: b2-4ac 0。 教学过程: 一、复习: 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些? 2、用配方法解方程: x2-7x-18=0二、新授: 1、推导求根公式: ax2+bx+c=0(a≠0) 解: 方程两边都作以a,得x2+ x+ =0 移项,得: x2+ x=- 配方,得: x2+ x+( )2=- +( )2即: (x+ )2= ∵a≠0,所以4a2>0当b2-4ac≥0时, 得x+ =± =± ∴x= 一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时, 它的根是x= 注意: 当b2-4ac<0时,一元二次方程无实数根。 2、公式法: 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 3、老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: ♦必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). ♦.b2-4ac≥0. 例题讲析: 例: 解方程: x2―7x―18=0 解: 这里a=1,b=―7,c=―18 ∵b2-4ac=(―7)2―4×1×(―18)=121>0 ∴x= ,即: x1=9,x2=―2 例: 解方程: 2x2+7x=4 解: 移项,得2x2+7x―4=0 这里,a=1,b=7,c=―4 ∵b2-4ac=72―4×1×(―4)=81>0 ∴x= = 即: x1= ,x2=―4 三、巩固练习: P58随堂练习: 1、⑴⑶ 2习题2.6 1、2、⑵⑶ 四、小结: (1)求根公式: x= (b2-4ac≥0) (2)利用求根公式解一元二次方程的步骤 五、作业: 作业本 2.4 分解因式法 目标1.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法。 2.会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。 重点掌握分解因式法解一元二次方程。 难点灵活运用分解因式法解一元二次方程。 教学过程: 一、回顾交流1、用两种不同的方法解下列一元二次方程。 1.5x2-2x-1=0 2.10(x+1)2-25(x+1)+10=0 观察比较: 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗? 如果相等,这个数是几? 你是怎样求出来的? 分析小颖、小明、小亮的解法: 小颖: 用公式法解正确; 小明: 两边约去x,是非同解变形,结果丢掉一根,错误。 小亮: 利用“如果ab=0,那么a=0或b=0”来求解,正确。 分解因式法: 利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。 因式分解法的理论根据是: 如果两个因式的积等于零,那么这两个因式至少有一个等于零.如: 若(x+2)(x-3)=0,那么x+2=0或.x-3=0;反之,若x+2=0或x-3=0,则一定有(x+2)(x-3)=0.这就是说,解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2=0或x-3=0. 一、范例学习 例: 解下列方程。 1.5x2=4x 2.x-2=x(x-2) 想一想你能用几种方法解方程x2-4=0,(x+1)2-25=0。 三、随堂练习 1、2 P62 习题2.7 1、2分解因式法解方程: x3-4x2=0。 四、课堂总结 1.利用因式分解法解一元二次方程,能否分解是关键,因此,要熟练掌握因式分解的知识,通过提高因式分解的能力,来提高用分解因式法解方程的能力,在使用因式分解法时,先考虑有无公因式,如果没有再考虑公式法。 2.老师提示: ♦1.用分解因式法的条件是: 方程左边易于分解,而右边等于零; ♦2.关键是熟练掌握因式分解的知识; ♦3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.” 五、布置作业补充: 用分解因式法解: (1)(2x-5)2-2x+5=0; (2)4(2x-1)2=9(x+4)2;(3)(x-1)(x+3)=12. 六、板书设计 2.4 分解因式法 一、复习 二、例题 三、想一想练习 四、小结 五、作业 为什么是0.618(第一课时) 知识目标: 1、掌握黄金分割中黄金比的来历; 2、经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型并解决问题的过程,认识方程模型的重要性。 教学重点难点: 列一元一次方程解应用题,依题意列一元二次方程 教学程序: 一、复习 1、解方程: (1)x2+2x+1=0 (2)x2+x-1=0 2、什么叫黄金分割? 黄金比是多少? (0.618) 3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解? (方程一边为零,另一边可分解为两个一次因式) 二、新授 1、黄金比的来历 如图,如果 = ,那么点C叫做线段AB的黄金分割点。 由 = ,得AC2=AB·CB设AB=1,AC=x,则CB=1-x ∴x2=1×(1-x)即: x2+x-1=0 解这个方程,得x1= x2= (不合题意,舍去) 所以: 黄金比 = ≈0.618 注意: 黄金比的准确数为 ,近似数为0.618. 上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题,其实,很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。 2、例题讲析: 例1: P64题略(幻灯片) (1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里? (结果精确到0.1海里) 解: (1)连接DF,则DF⊥BC, ∵AB⊥BC,AB=BC=200海里 ∴AC= AB=200 海里,∠C=45° ∴CD= AC=100 海里DF=CF, DF=CD ∴DF=CF= CD= ×100 =100海里 所以,小岛D和小岛F相距100海里。 (2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里 EF=AB+BC―(AB+BE)―CF=(300―2x)海里 在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程: x2=1002+(300-2x)2 整理得,3x2-1200x+100000=0 解这个方程,得: x1=200- ≈118.4 x2=200+ (不合题意,舍去) 所以,相遇时,补给船大约航行了118.4海里。 三、巩固: 练习,P65随堂练习: 1 四、小结: 列方程解应用题的三个重要环节: 1、整体地,系统地审清问题; 2、把握问题中的等量关系;3、正确求解方程并检验解的合理性。 五、作业: P66习题2.8: 1、2 六、教学后记: 为什么是0.618(第二课时) 教学目标: 1、分析具体问题中的数量关系,列出一元二次方程; 2、通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。 教学重点、难点: 列一元一次方程解应用题,找出等量关系列方程。 教学程序: 一、复习: 1、黄金分割中的黄金比是多少? [准确数为 ,近似数为0.618] 2、列方程解应用题的三个重要环节是什么? 3、列方程的关键是什么? (找等量关系) 4、销售利润=- [销售价][销售成本] 二、新授 在日常生活生产中,我们常遇到一些实际问题,这些问题可用列一元二次方程的方法来解答。 1、讲解例题: 例2、新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明,为销售价为2900元时,平均每天能售出8台,而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价为多少元? 每天的销售量(台) 每台的利润(元) 总利润(元) 降价前 8 400 3200 降价后 8+4× 400-x (8+ )×(400-x) 分析: 每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元 如果设每台冰箱降价为x 元,那么每台冰箱的定价就是(2900-x)元,每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元。 这样就可以列出一个方程,进而解决问题了。 解: 设每台冰箱降价x元,根据题意,得: (2900-x-2500)(8+4× )=5000 2900-150=2750元 所以,每台冰箱应定价为2750元。 关键: 找等量关系列方程。 2、做一做: 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明这种台灯的售价每上涨一元,某销售量就减少10个,为了实现平均每月20000的销售利润,这种台灯的售价应定为多少? 这时应进台灯多少个? 分析: 每个台灯的销售利润×平均每天台灯的销售量=10000元 可设每个台灯涨价x元。 (40+x-30)×(600-10x)=10000 答案为: x1=10,x2=40 10+40=50,40+40=80 600-10×10=500600-10×40=200 三、练习: P68随堂练习1 四、小结: 五、作业: P68习题2.91 六、教学后记: 一元二次方程的复习 教学目标: 1、熟练掌握一元二次方程的解法,能灵活选择方法解一元二次方程。 2、能利用方程解决有关实际问题,提高学生的应用能力。 教学重点、难点: 一元二次方程的几种解法;列一元二次方程解应用题。 教学程序: 一、复习: 1、什么叫一元二次方程? 它的一般形式是什么? 它的二次项系烽,一次项系数常数项各是什么? 2、一元二次方程有哪些解法? 3、一元二次方程的求根公式是什么? 4、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么? 关键是什么? 二、新课讲析: 1、解下列方程: (1)2(x+3)2=x(x+3) (2)x2-2 x+2=0 解: (1)2(x+3)2=x(x+3)∴x1=-3x2=-6 (2)x2-2 x+2=0这里a=1,b=-2 c=2 ∴b2-4ac=(-2 )2-4×1×2=12即: x1= x2= 三、练习: 1、解下列方程: (1)x(x-8)=0 (2)x2+12x+32=0 2、当x为何值时,代数式x2-13x+12=0的值等于42? 3、已知2+ 是方程x2-4x+c=0的一个根,求方程的另一个根及c的值。 4、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长。 四、课堂小结: 1、一元一次方程的一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0) 2、一元二次方程的解法: (1)配方法: 方程两边同加上一次项系数一半的平方。 (2)公式法: : x= (b2-4ac≥0) (3)分解因式法: 方程一边为0,另一边分解为两个一次式的积。 3、列一元一次方程解应用题: (1)步骤: a、设未知数;b、列方程;c、解方程;d、检验;e、作答。 (2)关键: 寻找等量关系。 五、作业: P69复习题: 4、6、7、8 第二章 一元二次方程复习 学习目标: 1、经历抽象一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。 教学重点: 认识产生一元二次方程知识的必要性 教学难点: 列方程的探索过程 教学过程: 一、简要回顾,方程思想 简要回顾方程知识,方程在生活中的应用,以及用方程思想解决实际问题时的大致思路: 1、待求的量用字母表示出来;2、把已知量与未知量放在同等地位进行运算; 3、求建立等量关系4、方程(组) 体会感悟: 往往解决一个未知数的问题,就需要建立一个等量关系;解决两个未知数的问题,则需要建立两个等量关系。 …… 二、展示素材,创设情境 在处理下面的每一个素材时,都带领学生经历探求思路、建立方程、分析特点三个过程,并从中激发学生的学习兴趣。 1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示,它的长为8m,宽为5m。 如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽? 这是俄罗斯画家别尔斯基的一幅题为《难题》的名画中写在教室黑板上的一道题,此画上面还画了拉钦斯基和他的作口算的学生们。 拉钦斯基(1836~1902)一度曾在大学中任自然科学教授,后来辞去大学的职务,成为一名普通的乡村教师,在这期间,对非标准习题的解法以及口算给予很大注意。 从惊奇与趣味中激发学生思考: 这样的数组还有吗? 如何求解? 设未知 数的技巧。 联想勾股定理中: ,…… 3、梯子移动如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距 地面的垂直距离为8m。 如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米? 及时教育学生,要学会用数学的眼光观察生活中的现象,培养自己发现问题与 解决问题的能力。 此诗出自十二世纪印度数学家婆什迦罗(Bhaskara;1114~1185)之手。 诗文简洁,数学內容也不太难。 同时,也可介绍《九章算术》第九章第六题“葭生中央”问题: 三、观察归纳,抽象命名 从上面的几个素材中可以看出,这类方程在生活中大量出现,回忆前面在学习“黄金分割”时,我们曾经得到方程 ,其中 ,这 是如何解出的,当时我们不得而知,但数学应该而且必定能为生活服务,因此我们很有必要对这类方程作一个系统的研究。 上述三个方程有什么共同特点? 上面的方程都是 只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为 (a、b、c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程 注: 形式上是一元二次方程,但化简整理后的方程却未必是一元二次方程,例如“印度莲花问题”,其实这仅仅是知识上的简单分类,目的是便于语言叙述与更有利于知识学习,因此没有必要过多计较。 四、学生编题,深化理解 在感受前面四个素材及归纳一元二次方程形式特点的基础上,启发学生编拟一条与自己身边生活有关的应用题,使列出来的方程是一元二次方程。 五、随堂练习,及时巩固 从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺。 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了。 你知道竹竿有多长吗? 请根据这一问题列出方程。 六、交流体会,概括总结 新课结束后,让学生回忆总结本节课学了哪些知识? 有什么体会? 在本节课中,对自己及其他同学们的学习表现满意吗? 对数学这门课有什么感想? 单元测试 一、填空题 1.方程x(2x-1)=5(x+3)的一般形式是___________,其中一次项系数是_________,二次项系数是_________,常数项是_________. 2.关于x的方程(k+1)x2+3(k-2)x+k2-42=0的一次项系数是-3,则k=_________. 3.3x2-10=0的一次项系数是_________. 4.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为_________. 5.x2+10x+_________=(x+_________)26.x2- x+_________=(x+_________)2 7.一个正方体的表面积是384cm2,则这个正方体的棱长为_________. 8.m_________时,关于x的方程m(x2+x)= x2-(x+2)是一元二次方程? 9.方程x2-8=0
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