完整word版精华讲义数学北师大版八年级下册因式分解doc.docx
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因式分解
一、概述
定义:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
意义:
它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解
内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。
学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。
注意三原则
1分解要彻底
2最后结果只有小括号
3最后结果中多项式首项系数为正(例如:
-3x2+x=-x(3x-1))
基本方法
1】提取公因式
这种方法比较常规、简单,必须掌握。
有时提公因式后再用公式法。
常用的公式有:
完全平方公式、平方差公式等
例1:
2x2-3x
解:
=x(2x-3)
针对性练习:
提公因式法
1.用提取公因式法分解因式正确的是(
)
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)
B.3
x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)
C.-
a
2+-
=-(
-+)
D.
2+5-=(
x
2+5)
abac
aa
bc
xyxyyy
x
2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是()
A.x2-yB.x2+2xC.x2+y2D.x2-xy+y2
3.如果b-a=-6,ab=7,那么a2b-ab2的值是()
A.42B.-42C.13D.-13
4.将下面各式进行因式分解
(1)a
3b
2
12
ab3c
6
a3b2c
(2)
21a
2
b14ab
2
7ab
8
1
(3)ma2-4ma+4a
(4)-28y
4-21y3+7y2
5.已知2x-y=1,xy=2,求2x4y3-x3y4的值.
8
6.已知(4x-2y-1)2+xy2=0,求4x2y-4x2y2-2xy2的值.
【随堂练习】
1、分解因式:
.
2
2、分解因式:
;
3.分解因式:
3
2】公式法
将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。
常用的公式有:
完全平方公式、平方差公式等。
注意:
使用公式法前,建议先提取公因式。
例2:
x2-4分解因式
分析:
此题较为简单,可以看出4=22,适用平方差公式
解:
原式=(x+2)(x-2)
【随堂练习】
1、下列多项式中,能用公式法分解因式的是()
a2-b2=(a+b)(a-b)2
A.
B.
4
C.
D.
2.分解因式:
5
3.
分解因式:
.
针对性练习:
一、平方差公式:
a2
b2
(ab)(ab)
1.填空
x2
___
(x
1
)(x
1
)
4
4
1
a2b2
1
(____)(____)
9
1x2
____
1(x
2y)(x
2y)
2
2
2.将下列各式因式分解
(1)m29n2
(2)116m4(3)2a4b5c2a2b3c
(4)
(ab)
n2
(ab)
n
(5)
a
2(
xy
)
b
2(
y
)
(6)
49(mn)
2
16(mn)
2
x
二.完全平方公式:
a2
2abb2
(a
b)2
1、下列多项式,能用完全平方公式分解因式的是
(
)
A、x2+xy+y2
B、x2-2x-1
C
、-x2-2x-1
D、x2+4y2
2、多项式
4a2+ma+25是完全平方式,那么m的值是(
)
A.10
B.20
C.
-20
D.±20
3、-x2+2xy-y2的一个因式是x-y,则另一个因式是________.
4、若x2+2(a+4)x+25
是完全平方式,则a的值是________.
5.将下列更是进行因式分解
6
(1)x2+6ax+9a2
(2)y2n4yn4(3)m44m2n2n4
(4)2x3y2–16x2y+32x;(5)3ax2+6axy+3ay2;(6)14x149x2
(7)(pq)22(pq)1(8)(x1)42(x1)21
【课后练习】
1、将下列各式进行因式分解:
1
3
3
2
2
2
2
2
2
(1)2x
y-2xy;
(2)(5a
-2b
)-(2a
-5b
)
。
2、将下列各式因式分解:
2
2
2
2
4
9
2
(1)1-16x;
(2)25x
y-49a
;
(3)-x
+121y。
3、把下列各式进行因式分解:
(1)(3x+2y)2-(x-y)2;
(2)-(x+2)2+16(x-1)2。
4、因式分解4b2-4ab+a2正确的是(
)
A.4b(b-a)+a2
B
.(2b-a)2
C.(2b-a)(2b-a)
D.(2b+a)2
7
5、已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值.
因式分解
识点1:
分解因式的定义
1.分解因式:
把一个多项式化成几个整式的乘的积,这种变形叫做分解因式,它与整式的乘法互为逆运算。
如:
判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式:
①x2
98x
(x3)(x
3)8
(
)
②9x2
4y2
(9x
4y)(9x4y)(
)
③(x
3)(x
3)x2
9
(
)
④x2y
2xy2
xyxy(x
2y)
(
)
知识点2:
公因式
公因式的定义:
我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定:
(1)符号:
若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号)
(2)系数:
取系数的最大公约数;
(3)字母:
取字母(或多项式)的指数最低的;
(4)所有这些因式的乘积即为公因式;
例如:
1.
多项式-3ab
6abx
9aby的公因式是_________
2.
多项式
8a3b2c16a2b3
24ab2c分解因式时,应提取的公因式是(
)
A.
2
3
3
3
3
4abc
B.8ab
C.2ab
D.24abc
3.
x(m
n)2
y(n
m)4
(m
n)3的公因式是__________
知识点3:
用提公因式法分解因式
提公因式法分解因式:
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式
化成几个因式的乘积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
8
例如:
1.可以直接提公因式的类型:
(1)9a3b2
6a2b4
12a
4b3=________________;
(2)an1
an1
an=____________
(3)x(a
b)2
y(a
b)4
(ab)5=_____________
(4)解方程组
2x
y
3
,求代数式(2xy)(2x3y)3x(2x
y)的值
5x
3y
2
2.式子的第一项为负号的类型:
(1)①
4x2y
6x2y2
8x3y3
=________
_______
②
4(m
n)3
8(mn)4
12(m
n)2
=____
___
(2)
8x2
18y2
=________
_______
练习:
1.多项式:
6ab
18abx
24aby的一个因式是
6ab,那么另一个因式是(
)
A..13x
4y
B..1
3x4y
C
1
3x4y
D..13x
4y
2.分解因式-5(y-x)3-10y(y-x)3
3.公因式只相差符号的类型:
公因式相差符号的,要先确定取哪个因式为公因式,然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来,使其统
一于之前确定的那个公因式。
(若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置,如
(xy)
6
-(yx)
5
6
5
5
(y-x)-(y-x)(y-x)(y-x-1)
例:
(1)(b-a)2+a(a-b)+b(b-a)
(2)(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)·(b-a-c)
9
(3)
a(ab)
3
a
2
(ba)
2
ab(ba)
2
2
练习:
1.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于(
)
(A)(a-2)(m2+m)
(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)
(D)m(a-2)(m+1)
2.多项式x(y
3)
x3(3y)的分解因式结果(
)
A.(y3)(xx3)
B.(y3)(xx3)C.x(y3)(1x2)D.x(y3)(1x)
3.分解因式:
(1)m(xy)
n(y
x)(xy)(________)
(2)-6(x-y)4-3y(y-x)5
知识点4公式法分解因式
.公式法分解因式:
如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法
叫做公式法。
一、平方差公式分解因式法
平方差公式:
两个数的平方差,等于这两个的和与这两个数的差的积。
即a2-b2=(a+b)(a-b)
特点:
a.是一个二项式,每项都可以化成整式的平方.b.两项的符号相反.
例如:
1、判断能否用平方差公式的类型
(1).下列多项式中不能用平方差公式分解的是()
(A)-a2+b2
(B)-x2-y2
(C)49x2y2-z2
(D)16m4-25n2p2
(2).下列各式中,能用平方差分解因式的是(
)
A.x2
y2
B.x2
y2
C.x2
xy2
D.1y2
2、直接用平方差的类型
(1)16x2
9y2
(2)
25x2
1
(3)x4
1
3、整体的类型:
(1)(mn)2
n2
(2)(xy)2
(2x3y)2
10
4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型
(1)m3—4m=.
(2)a3a.
练习:
将下列各式分解因式
(1)x2
2
2
(2)100x2-81y2;
(3)9(a-b)2-(x-y)2;
14x
(4)aa5(5)x39x(6)(mn)3(mn)
二、完全平方式分解因式法
完全平方公式:
两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方。
即a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2
特点:
(1)多项式是三项式;
(2)其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;
(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.
1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解
如:
下列多项式能分解因式的是(
)
A.x2
yB.x2
y2
C.x2
y2
yD.x2
6x
9
2、关于求式子中的未知数的问题
如:
1.若多项式x2
kx
16是完全平方式,则
k的值为(
)
A.—4
B.4
C.±8
D.±4
2.若9x2
6x
k是关于x的完全平方式,则
k=
3.若x2
2(m
3)x
49是关于x的完全平方式则
m=__________
3、直接用完全平方公式分解因式的类型
(1)x2
8x
16;
(2)
4x2
12xy
9y2;
(3)
x2
xy
y2;
(4)
4m2
4mnn2
4
9
3
4、整体用完全平方式的类型
(1)(x-2)2+12(x-2)+36;
(2)
96(a
b)
(a
b)2
5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型
11
(1)-4x3+16x2-16x;
1
(2)ax2y2+2axy+2a
2
(3)已知:
ab1,xy2,求3abx23aby26xyab的值
练习:
分解因式
(1)x2
4x4
(2)a2x2
16ax64
(3)a4
8a2b2
16b4
(4)(
)2
14(
xy
)49
(5)96(ab)(ab)
2
xy
(6)3x3
12x2y
12xy2
(7)2x2
2x
1
2
知识点
5、十字相乘法分解因式
.十字相乘法分解因式:
逆用整式的乘法公式:
(x+a)(x+b)=x2
(ab)x
ab,用来把某些多项式
分解因式,这种分解因式的方法叫做十字相乘法。
如:
分解因式:
(1)x2
7x10
(2)2x2
5x
3
(3)a2+6ab+5b2
(4)x2+5x+6(5)x2-5x+6(6)x2-5x-6
练习:
(1)x2+7x+12
(2)x2-8x+12(3)x2-x-12(4)x2+4x-12
(5)y2+23y+22(6)x2-8x-20(7)x2+9xy-36y2
12
知识点6、分组的方法分解因式
如
(1)m3
4m4
520m
(2)4x4
y2
4x2
1
练习:
(1)9a2
4b2
4bcc2
(2)x3
3x2
4x12
(3)x2
2x6y9y2
(4)9x2y24y4(5)xy22xy2y4
13
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