自动控制原理+课后答案.docx
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自动控制原理+课后答案
自动控制原理答案
自控原理课后习题精选
2-5试分别列写图
2-3中各无源网络的微分方程
(设电容C上的电压为uc(t),电容C1上的电压为uc1(t),
以此类推)。
+uc(t)-
+
R1(t)-
+uc1(t)-
u
C
R1
C1
R1
R
R
C
C
c1
-
-c2(t)+
i
i
R2
+
+u(t)
u
uo
ui
u
uou
R2
uo
uc2(t)C2
-
(a)
(b)
(c)
图2-3习题2-5无源网络示意图
解:
(a)设电容C上电压为uc(t),由基尔霍夫定律可写出回路方程为
uc(t)ui(t)uo(t)
duc(t)uc(t)uo(t)
C
dtR1R2
整理得输入输出关系的微分方程为
Cduo(t)
(1
1)uo(t)
Cdui(t)
ui(t)
dt
R1
R2
dt
R1
(b)设电容C1、C2上电压为uc1(t),uc2(t),由基尔霍夫定律可写出回路方程为
uc1(t)
ui(t)
uo(t)
ui(t)
uc2(t)
uo(t)
uc2(t)
C2
duc2(t)
R
R
dt
uo(t)
uc2(t)
RC1
duc1(t)
dt
整理得输入输出关系的微分方程为
RC1C2d2uo(t)
(2C1C2)duo(t)uo(t)
RC1C2
d2ui(t)
2C1
dui(t)
ui(t)
dt2
dt
R
dt2
dt
R
(c)设电阻R2上电压为uR2(t),两电容上电压为
uc1(t),uc2(t)
,由基尔霍夫定律可写出回路方程为
uc1(t)ui(t)
uR2(t)
(1)
uc2(t)
uo(t)uR2(t)
(2)
C
duc1(t)
C
duc2(t)
uR2
(t)
(3)
dt
dt
R2
1
ui(t)uo(t)
Cduc2(t)
R1
dt
(2)代入(4)并整理得
duR2(t)duo(t)ui(t)uo(t)
dtdtR1C
(1)、
(2)代入(3)并整理得
Cdui(t)
Cduo(t)
2CduR2(t)
uR2(t)
dt
dt
dt
R2
两端取微分,并将(
5)代入,整理得输入输出关系的微分方程为
R2Cd2uo(t)
(1
1)duo(t)
uo(t)
R2Cd2ui(t)
1
dui(t)
ui(t)
dt2
R1C
dt
R1C
dt2
R1Cdt
R1C
2-6
求图2-4中各无源网络的传递函数。
+Uc(s)-
+Uc1(s)
-
C
C1
R1
+Uc1(s)--Uc2(s)+
R1
R
R
Uo(s)Ui(s)
C+
C
Ui(s)
+
UR2(s)
Ui(s)
R2Uo(s)
Uc2(s)
C2
R2
-
-
(a)(b)(c)
图2-4习题2-6示意图解:
(a)由图得
UC(s)
Uo(s)
CsUC(s)
R2
R1
UC(s)Ui(s)Uo(s)
(2)代入
(1),整理得传递函数为
Cs
1
Uo(s)
R1
R1R2CsR2
Ui(s)
1
1
R1R2CsR1R2
Cs
R2
R1
(b)由图得
UC1(s)Ui(s)Uo(s)
Ui(s)UC2
(s)Uo(s)UC2
(s)
(s)
R
R
C2sUC2
自动控制原理答案
(4)
(5)
Uo(s)
(1)
(2)
(1)
(2)
2
自动控制原理答案
RC1sUC1(s)Uo(s)UC2(s)
整理得传递函数为
1
Uo(s)
RC1s
2
R2C1C2s2
2RC1s1
RC2s
Ui(s)
RC2s
1
R2C1C2s2
Rs(2C1C2)1
RC1s
2
RC2s
(c)由图得
UC1(s)
Ui(s)UR2(s)
(1)
UC2(s)Uo(s)UR2(s)
(2)
CsUC1(s)CsUC2(s)
UR2
(s)
(3)
R2
Ui(s)
Uo(s)
(s)
(4)
CsUC2
R1
整理得传递函数为
1
Uo(s)
Cs
R1R2C2s2
R1Cs
R2
Ui(s)
2
1
1
R1R2C2s2
(R1
2R2)Cs1
Cs
R2
R1R2Cs
R1
2-8试简化图
2-6中所示系统结构图,并求传递函数
C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。
解:
(a)
⑴求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图:
图2-6习题2-8系统结构图示意图
①令N(s)0,利用反馈运算简化如图2-8a所示
3
自动控制原理答案
R(S)
G1
G2
C(S)
-
1G1H1
1G2H2
H3
图2-8a
②串联等效如图2-8b所示
R(S)
G1
G2
C(S)
-
1
G1H11
G2H2
H3
图2-8b
③根据反馈运算可得传递函数
G1
G2
C(s)
1G1H11G2H2
G1G2
R(s)
G1
G2
(1G1H1)(1G2H2)G1G2H3
1
G2H2
H3
1G1H11
G1G2
1G1H1G2H2G1H1G2H2G1G2H3
⑵求传递函数C(s)/N(s),按下列步骤简化结构图:
①令R(s)0,重画系统结构图如图2-8c所示
H2
N(S)
-
+
++
C(S)
H
1
1
G2
G
-
H3
图2-8c
②将H3输出端的端子前移,并将反馈运算合并如图2-8d所示
4
自动控制原理答案
N(S)
+
G2
C(S)
-H1
G1
G2H2
+
1
H3/H1
图2-9d
③G1和H1串联合并,并将单位比较点前移如图2-8e所示
-1/G1H1
N(S)
C(S)
-G1H1
G2
+
1
G2H2
H3/H1
图2-8e
④串并联合并如图2-8f所示
N(S)
1
G1G2H1
C(S)
1
1G2H2
G1H1
+
H3/H1
图2-8f
⑤根据反馈和串联运算,得传递函数
G1G2H1
C(s)
(1
1
1
G2H2
N(s)
)
H3
G1H1
G1G2H1
1
G2H2
H1
1
G1H1
1
G1G2H1
G1H1
1G2H2
G1G2H3
G2
G1G2H1
1G2H2
G1G2H3
(b)求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图:
①将H2的引出端前移如图2-8g所示
5
自动控制原理答案
H2
1/G3
R(S)
-
C(S)
G1
G2
G3
-
-
H1
H3
图2-8g
②合并反馈、串联如图2-8h所示
H2
/G3
R(S)
-
G2G3
C(S)
G1
1G3H3
-
H1
图2-8h
③将H1的引出端前移如图2-8i所示
H2/G3
R(S)
-
G2G3
C(S)
G1
1G3H3
-
1
G3H3
H1
G2G3
图2-8i
④合并反馈及串联如图2-8j所示
R(S)
G1G2G3
C(S)
-
1
G2H2G3H3
1G3H3
H1
G2G3
图2-8j
6
自动控制原理答案
⑤根据反馈运算得传递函数
G1G2G3
C(s)
1G2H2
G3H3
R(s)
1
G1G2G3
1G3H3H1
1G2H2G3H3
G2G3
G1G2G3
1G1HG2H2
G3H3
G1H1G3H3
2-10根据图2-6给出的系统结构图,画出该系统的信号流图,并用梅森公式求系统传递函数C(s)/R(s)和
C(s)/N(s)。
解:
(a)根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数
的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-10a所示。
-H1
N(S)
H2
R(S)
1
G1
1
G2
1
C(S)
-H3
图2-10a
(1)令N(s)0,求系统传递函数C(s)/R(s)
由信号流图2-10a可见,从源节点R(s)到阱节点C(s)之间,有一条前向通路,其增益为
p1
G1G2
有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
L1
G1H1,L2
G2H2,L3G1G2H3
L1与L2互不接触
L12G1H1G2H2
流图特征式
1(L1L2L3)L121G1H1G2H2G1G2H3G1G2H1H2
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
7
自动控制原理答案
11
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
C(s)
p11
G1G2
R(s)
1G1H1G2H2G1G2H3G1G2H1H2
(2)令R(s)
0,求系统传递函数
C(s)/N(s)
由信号流图
2-10a可见,从源节点
N(s)到阱节点C(s)之间,有两条前向通路,其增益为
p1G2,p2G1G2H1
有两个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
L1G2H2,L2G1G2H3
没有互不接触的回路,所以流图特征式为
1(L1L2)1G2H2G1G2H3
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
11,21
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
C(s)
1
2
G2G1G2H1
R(s)
pi
i
G1G2H3
i1
1G2H2
(b)根据结构图与信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数
的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-10b所示。
-H2
R(S)1G11G21G31C(S)
-H1-H3
图2-10b
求系统传递函数C(s)/R(s)
由信号流图2-10b可见,从源节点R(s)到阱节点C(s)之间,有一条前向通路,其增益为
p1G1G2G3
8
自动控制原理答案
有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为
L1G1H1,L2G2H2,L3G3H3
L1与L3互不接触
L13G1G3H1H3
流图特征式为
1(L1L2L3)L131G1H1G2H2G3H3G1G3H1H3
由于前向通路与所有单独回路都接触,所以余因子式
11
根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为
C(s)p11
G1G2G3
R(s)
1G1H1G2H2G3H3G1G3H1H3
3-3已知二阶系统的单位阶跃响应为h(t)1012.5e1.2tsin(1.6t53.1),试求系统的超调量%,峰
值时间tp和调节时间ts。
解:
h(t)10
1.t2
sint(1.653.1)
12.e5
=10[1
1.25e1.2t
sin(1.6t53.1)]
由上式可知,此二阶系统的放大系数是10,但放大系数并不影响系统的动态性能指标。
由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为h(t)1
1
e
ntsin(n1
2t)
1
2
n1.2
所以有
1
1
2
1.25
n
1
2
1.6
0.6
解上述方程组,得
n2
所以,此系统为欠阻尼二阶系统,其动态性能指标如下
超调量%e
1
2
0.61.25
100%9.5%
100%e
9
自动控制原理答案
峰值时间
tp
2
1.96s
n1
20.8
调节时间
3.5
3.5
2.92
ts
20.6
n
3-4设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)0.4s1,试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
s(s0.6)
解题过程:
由题意可得系统得闭环传递函数为
G(s)
0.4s
1
2
s
a
(s)
n
1
G(s)
2
s
1
a
s
2
2d
ns
2
s
n
其中a2,
n
1,d
n
0.5,z
2.5。
这是一个比例-微分控制二阶系统。
2z
比例-微分控制二阶系统的单位阶跃响应为
h(t)
1re
dnt
sinn(
1d2t
)
z
2
2
2
2
故显然有
r
dn
n
z1
2
3
d
1
2
arctan1
2
arctan(
n
d
)
d
1.686
z
d
n
d
1
2
arctan
d
1.047
d
3
d
此系统得动态性能指标为
峰值时间
tp
d
3.155
1
2
n
d
%r
1
2
dtp
1
2
16.2%
n
超调量
de
3
1ln(z2
2n
n
n2)lnz
1ln(1
d2)
调节时间
ts
2
2
5.134
d
n
K
,试应用劳斯稳定判据确定
3-7设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)
(s2)(s4)(s2
6s25)
义为多大值时,特使系统振荡,并求出振荡频率。
10
自动控制原理答案
解:
由题得,特征方程是s412s369s2198s200K0
列劳斯表
s4
1
69
200+K
s3
12
198
s2
52.5
200+K
s1
7995-12K
s0
200+K
由题意,令s1
所在行为零得K
666.25
由s2行得52.5s2
200
666.250
解之得s
4.06i2,所以振荡角频率为
4.06r2ad/s
K(0.5s
1)
,试确定系统稳定时的
K值范
3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)
s1)
s(s1)(0.5s2
围。
解:
由题可知系统的特征方程为
D(s)s4
3s3
4s2
(2K)s2K0
列劳斯表如下
s4
1
4
s3
3
2+K
s2
10-K
2K
3
(10-K)(2+K)
6K
1
3
s
10-K
3
s0
2K
由劳斯稳定判据可得
10
K
3
0
[(10
K)(2
K)/3]6K
(10
0
K)/3
2K
0
11
自动控制原理答案
解上述方程组可得0K1.705
3-9系统结构如图3-1
K
,定义误差e(t)
r(t)c(t),
所示,G(s)
s(Ts
1)
(1)若希望图a中,系统所有的特征根位于
s平面上s2
的左侧,且阻尼比为
0.5,求满足条件的K,T
的取值范围。
(2)求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。
(3)为了使稳态误差为零,让斜坡输入先通过一个比例微分环节,如图b所示,试求出合适的K0值。
(a)(b)
解:
(1)闭环传递函数为
(s)
K
K/T
sK
1
K
Ts2
2
s
s
T
T
即n
K,2
n
1,
0.5
n
1,K
1
T
T
T
T
D(s)
Ts2
s
K,令s's
2,代入上式得,
D'(s)T(s'
2)2
s'
2K
Ts'2
(4T
1)s'4T1/T20
列出劳斯表,
s2
T
4T+1T
2
s1
1-4T
s0
4T+1T
2
T
0,1
4T
0,4T
1/T20
0
T1/4
或T
0,1
4T
0,4T1/T
2
0
无解
0
T
1/4,4
K
(2)R(t)
t,系统为I
型系统∴ess
1/K
12
自动控制原理答案
K
KK0s
K
(3)G'(s)(K0s1)
Ts2
s
K
s(Ts1)K
E(s)
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