有关极值点的几个题目.docx
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有关极值点的几个题目.docx
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有关极值点的几个题目
关于极值点与零点的几个题
一•解答题(共7小题)
1•已知函数f3二汎Im遗J+1•
(1)若y=f(乂)在(0,+%)恒单调递减,求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)有两个极值点xi,X2(xivx2),求a的取值范围并证明
xi+x2>2•
2.已知函数f(x)=xlnxx2-x+a(a€R)在定义域内有两个不同的极值点
(1)求a的取值范围;
(2)记两个极值点xi,X2,且X1VX2,已知入》,若不等式xi?
x2>e1+入恒成
立,求入的取值范围.
3.已知函数f(x)=lnax2+x,
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若f(x)有两个极值点X1,X2,证明:
f(X1)+f(X2)>3-4ln2.
2
4•已知函数f(X)八八—「L(e为自然对数的底数)•
|ex|
(1)若a二占,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f
(1)=1,且方程f(x)=1在(0,1)内有解,求实数a的取值范围.
5.已知函数f(x)=lnx-ax.
(I)若函数f(x)在(1,+x)上单调递减,求实数a的取值范围;
(H)当a=1时,函数
有两个零点X1,X2,且X1VX2.求证:
X1+X2>1.
6.已知f(x)=ln(mx+1)-2(m却).
(1)讨论f(x)的单调性;
A
(2)若m>0,g(x)=f(x)+齐7存在两个极值点X1,X2,且g(x1)+g(X2)
V0,求m的取值范围.
7.已知函数f(x)=x(lnx-ax)(a€R),g(x)=f'().
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与直线3x-y-仁0平行,求实数a的值;
(2)若函数F(x)=g(x)+丄X2有两个极值点X1,X2,且X1VX2,求证:
f
l^-l
(X2)-1Vf(X1)
关于极值点的几个题目------有点难
参考答案与试题解析
一•解答题(共7小题)
1.(2017?
达州模拟)已知函数-
(1)若y=f(乂)在(0,+%)恒单调递减,求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)有两个极值点xi,X2(xivx2),求a的取值范围并证明
xi+x2>2.
【分析】
(1)求出函数的导数,问题转化为xE(0,+8),令
yJilSin.
G)二垃也^€(0,+8),根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出
a的范围即可;
(2)求出函数f(x)的导数,令F(x)=f(x)=lnx-ax+1,求出函数F(x)
的导数,通过讨论a的范围求出a的范围,证明即可.
【解答】解:
(1)因为f(x)=lnx-ax+1(x>0),
所以由f(x)<0在(0,+%)上恒成立得)蠶€(Q,,
yJlloA.
令^(耳)二汪(0,+8),易知g(x)在(0,1)单调递增(1,+%)单调
递减,
所以a>g
(1)=1,
即得:
a>1…(5分)
(2)函数y=f(x)有两个极值点X1,X2(X1VX2),
即y=f(x)有两个不同的零点,且均为正,f(x)=lnx-ax+1(x>0),
令F(x)=f(x)=lnx-ax+1,由尸二丄-且工G>0)可知
1)aO时,函数y=f(x)在(0,+%)上是增函数,不可能有两个零点.
2)a>0时,y=F(x)在丄)是增函数在
a
此时「二为函数的极大值,也是最大值.
a*
当XO时,最多有一个零点,所以卩(丄)二1门丄>0才可能有两个零点,
a
得:
0vav1…(7分)
此时又因为一厂:
12Z
,陀啟<“,罕)3山亡(0<心,
22q
e已一羽
□~~~
aaa
>0,^(&)在(0,1)上单
2n
令$Ca)=3-21na,①'(a)=—+
调递增,
2
所以©(a)v©
(1)=3-e2,即jII
a
综上,所以a的取值范围是(0,1)-(8分)
F面证明X1+X2>2
由于y=F(x)在(山丄)是增函数在[丄,©)是减函数,<1-,可构造
aa1a
(—~x)~Ftx)二1口(-|■-x)-0(吕-区)-(lm-ai)
构造函数
a
12
ii
打G)二—TP羽二F2、€0
x—xu—)
aa
故m(x)在区间〔0,丄]上单调减.又
a
由于二
1a
m([〕Am(丄)二0,
丄a
即有m(X1)
>0在(0,土)上恒成立,即有
a
由于一-丄
-x1,y=F(x)在(丄*+°°)是减函数,所以
1aa
所以■,,-,-1一「成立
1疋a
分)
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题.
2.(2017?
天心区校级一模)已知函数f(x)=xlnxx2-x+a(a€R)在定
义域内有两个不同的极值点
(1)求a的取值范围;
(2)记两个极值点xi,X2,且xivX2,已知入>0,若不等式xi?
x2入〉e+刀恒成
立,求入的取值范围.
【分析】
(1)由导数与极值的关系知可转化为方程
f'x)=lnx-ax=0在(0,
+X)有两个不同根;再转化为函数y=lnx与函数
y=ax的图象在(0,+x)上
有两个不同交点;
(2)原式等价于
lrr2
14-X
+5
A1
,令t=
t€(0,1),则不等式lntV
在t€(0,1)上恒成立.令h(t)=lnt-
(1+人)(一1)
t+k
,t€(0,
如图示:
可见,若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k,只须0vavk.
令切点A(xo,Inxo),
故k=y'|x=xo=——
Eo
又k=
11mtn
故=,解得,xo=e,
故k=1,故0vav丄;
(2)因为e1+Vxi?
x2入等价于1+入Vnxi+Alnx2.
由
(1)可知xi,X2分别是方程Inx-ax=0的两个根,
即Inxi=axi,InX2=ax2
所以原式等价于1+入vaxi+Aax2=a(xi+Zx2),因为入>0,0vxivX2,
所以原式等价于a>一y-y—,
又由Inxi=axi,Inx2=ax2作差得,In—=a(xi-X2),
x2
所以原式等价于
因为0vxivX2,原式恒成立,即
(1+人)
vX1+丸巳
恒成立.
令t=,t€(0,i),
则不等式lntV在t€(0,1)上恒成立.
t+A
令h(t)=lnt-,t€(0,1),
t+入
又h,tO二亠TI「:
tG+X)2
当X>1时,可见t€(0,1)时,h'K)>0,
所以h(t)在t€(0,1)上单调增,又h
(1)=0,h(t)V0在t€(0,1)恒成立,符合题意.
当XV1时,可见t€(0,入2)时,h'to>0,t€(入2,1)时h'tov0,所以h(t)在t€(0,X)时单调增,在t€(X2,1)时单调减,又h
(1)
=0,
所以h(t)在t€(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.
综上所述,若不等式e1+Xvx1?
x2入恒成立,只须X>1,又入》,所以入>.
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论,转化思想,数形结合的思想方
法的应用,是一道综合题.
3.(2017?
湖北模拟)已知函数f(x)=ln-ax2+x,
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若f(x)有两个极值点X1,X2,证明:
f(X1)+f(X2)>3-4ln2.
【分析】
(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值的个数;
(2)根据X1,X2是方程2ax2-x+仁0的两根,得到k[十七二三^,“工2二扌^,求出f(X1)+f(X2),根据函数的单调性证明即可.
【解答】解:
(I)由
得:
+
X
2
[二畑+K-1,迁(Of心)
x€(0,1),f'x)v0,X€
(1,
+^),f'x)>0,
所以x=1,f(x)取得极小值,
X=1
是f(x)的一个极小值点.
(ii)av0时,△=〔-8a>0,
1^/1-8a
1+V1-8s
Al"4a:
74a
令f'x)=o,得
⑴a=0时,曲山号
显然,xi>0,X2V0,
•A]U-■
I))f’QXOix€(u+8),,
f(X)在x=xi取得极小值,f(X)有一个极小值点.
(iii)a>0时,少1-8aO即—丄时,f'()<0,o
f(x)在(0,+x)是减函数,f(x)无极值点.
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- 有关 极值 几个 题目