122等腰三角形的性质和判定.docx
- 文档编号:9986004
- 上传时间:2023-05-22
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:156.77KB
122等腰三角形的性质和判定.docx
《122等腰三角形的性质和判定.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《122等腰三角形的性质和判定.docx(23页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
122等腰三角形的性质和判定
课题
12-2等腰三角形的性质和判定
教学目标
教学重点
教学难点
学生姓名
年级
八年级
日期
第一部分:
知识点回顾
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
2.等腰三角形的性质和判定
性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)
判定
(1)有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)
3.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
4.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.
(2)等边三角形是轴对称图形,共有三条对称轴.
(3)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.
5.等边三角形有关判定
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
6.由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它对的直角边等于斜边的一半.
第二部分:
自我评测
知识点
掌握情况
备注
非常好
一般
有待提高
等腰三角形的概念
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
等边三角形的概念
等边三角形的性质
等边三角形的判定
有一个锐角是30°的直角三角形的性质
第三部分:
例题剖析
例1如图所示,△ABC中,AB=AC,D在BC上,且BD=AD,DC=AC,求∠B的度数。
A
C
BD
思路点拨:
只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中,然后用方程思想解题,列方程的依据是三角形的内角和定理。
解:
∵AB=CD(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
同理:
∠B=∠BAD,∠CAD=∠CDA
设∠B为X0,则∠C=X0,∠BAD=X0
∴∠ADC=2X0,∠CAD=2X0
在△ADC中,∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800
A
∴X+2X+2X=180
∴X=36
答:
∠B的度数为360
例2如图所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC。
求证:
AO⊥BC
O
思路点拨:
要证AO⊥BC,即证AO
D
C
B
是等腰三角形底边上的高,
根据三线合一定理,只要先证AO是顶角的平分线即可。
证明:
延长AO交BC于D
AB=AC(已知)
在△ABO和△ACO中OB=OC(已知)
AO=AO(公共边)
∴△ABO≌△ACO(SSS)
∴∠BAO=∠CAO
即∠BAD=∠CAD(全等三角形的对应角相等)
∴AD⊥BC,即AO⊥BC(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合)
第四部分:
典型例题
例1、如右图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.
【变式练习】
如图所示,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A的度数.
例2、如图所示,在等腰△ABC中,AD是BC边上的中线,点E在AD上。
求证:
BE=CE。
【变式练习】
已知,如图所示,AD是△ABC,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。
求证:
AD垂直平分EF。
例3、如图,△ABC中BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,
求证:
△DBE是等腰三角形.
【变式练习】
如图,AF是△ABC的角平分线,BD⊥AF交AF的延长线于D,DE∥AC交AB于E,
求证:
AE=BE.
例4△ABC是等边三角形,BD=AE,求证CE=DE。
【变式练习】
已知ΔABC是等边三角形,D为BA的中点,DE⊥AC,垂足为点E,EF∥AB,AE=1.
(1)求AD的长.
(2)求ΔEFC的周长.
例5.判断下列命题的真假:
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形.()
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形.()
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形.()
④三个外角都相等的三角形是等边三角形.()
【变式练习】
例6、已知:
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.
求证:
BD=
AB.
【变式练习】
1.如图,在△ABC中,已知AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高.求CD的长.
2.如图,在
中,
,
,
的平分线AM的长15,求BC的长.
第五部分:
思维误区
在解等腰三角形的问题时,当给出的条件(如边、角)情况不明时,一般要分两种情况逐一分析。
否则,易出现错解或漏解的错误。
一、考虑不周造成的错误
例1、已知等腰三角形一边长为7,另一边长为3,求它的周长。
错解:
当腰长为7时,底边长为3。
所求周长为:
7×2+3=17
当腰长为3时,底边长为7。
所求周长为:
3×2+7=13
剖析:
错解分腰长为7或3两种情况求周长貌似严密,但3+3=6<7违背了三角形的三边关系定理,犯了考虑不周的错误。
正解:
当腰长为7时,底边长为3。
所求周长为:
7×2+3=17
当腰长为3时,底边长为7。
所求周长为:
3×2+7=13
但当三角形的三边长为3,3,7时,3+3=6<7违背了三角形的三边关系定理,不能为成一个三角形。
所以所求周长为7×2+3=17。
二、腰大于底的习惯思维造成的疏漏
例2、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成12㎝和15㎝两部
分,求这个三角形腰长和底边长。
错解:
∵BD为等腰△ABC的中线
∴AD=DC
设AB为x㎝,BC为ycm.
解得
所以这个三角形腰长为10㎝,底边长为7㎝。
剖析:
在处理等腰三角形的问题时,有的同学习惯上总认为腰大于底,这是造成错误的原因所在。
事实上本题有两种情况。
正解:
此题有两种情况:
∵BD为等腰△ABC的中线
∴AD=DC
设AB为x㎝,BC为ycm.
(1)
解得
或
(2)
解得
所以这个三角形腰长为10㎝,底边长为7㎝或腰长为8㎝,底边长为11㎝。
三、概念不清造成的错误
例3、已知在等腰三角形中,一个角是另一个角的2倍,求等腰三角形三个内角的度数。
错解:
设等腰三角形的顶角为x°,则底角为2x°。
根据题意,得x+2x+2x=180
解得x=36
∴2x=72
∴这个等腰三角形的三个内角为:
36°、72°、72°.
剖析:
错误在于误认为等腰三角形的底角一定大于顶角,是概念不清造成的错误想法。
本题应分底角大于或小于顶角两种情况解答。
正解:
当等腰三角形的底角大于顶角时,设顶角为x°,则底角为2x°。
根据题意,得x+2x+2x=180
解得x=36
∴2x=72
∴这个等腰三角形的三个内角为:
36°、72°、72°.
当等腰三角形的底角小于顶角时,设底角为x°,则顶角为2x°。
根据题意,得2x+x+x=180
解得x=45
∴2x=90
∴这个等腰三角形的三个内角为:
90°、45°、45°.
第六部分:
方法规律
1.等腰三角形的性质定理提示了三角形边与角的转化关系,由两边相等转化为两角相等,这是证明两角相等的常用依据。
2.作等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线,是三种重要的辅助线,在做题的时候要灵活选择,用最方便、简捷的方法解题。
3.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的搞这“三线合一”的性质有多重功能,可以证明两线段相等,两个角相等以及两条直线的互相垂直,也可以证明线段成角的倍分问题。
但要注意使用性质2是以等腰三角形为前提的。
第七部分:
巩固练习
A组
一.选择题
1.下列说法中,正确的有()
①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两底角相等;③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等;④等腰三角形是轴对称图形.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.等腰三角形有两条边长为4cm和6cm,则该三角形的周长是()
A.14cmB.16cmC.14cm或16cmD.12cm
3.等腰三角形的一个外角是80°,则其底角是()
A.100°B.100°或40°C.40°D.80°
4.下列三角形:
①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有()
A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④
5.同学们都玩过跷跷板的游戏.如图所示,是一跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头A着地时,∠OAC=25°,则当跷跷板的另一头B着地时,
∠AOA′等于()
A.25°B.50°C.60°D.130°
6.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()
A.
(1)
(2)(3)B.
(1)
(2)(4)C.
(2)(3)(4)D.
(1)(3)(4)
A.
(1)
(2)(3)B.
(1)
(2)(4)C.
(2)(3)(4)D.
(1)(3)(4)
二.填空题(每小题3分,共18分)
7.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则∠B=_______.
8.△ABC中,∠C=∠B,D、E分别是AB、AC上的点,AE=2cm,且DE∥BC,则AD=_______.
9.△ABC中,∠B=∠C=15°,AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线于点D,则CD的长度是_______.
10.如图,上午8时,一条船从A处出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到B处,从A、B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°,则从B处到灯塔C的距离_______.
.
三.解答题
11.等边三角形给人以“稳如泰山”的美感,它具有独特的对称性,请你用不同的分割方法,把下图中的两个等边三角形分别分割成四个等腰三角形.(标出必要角度)
12.如图,已知:
点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证:
BD=CE.
13.如图,AB=AE,BC=DE,∠ABC=∠AED,点F是CD的中点.求证:
AF⊥CD.
14.如图,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,BE平分∠ABC,交AC于E,交AD于F.
试判断△AEF的形状,并说明理由.
15.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受影响?
请说明理由.
Q
B组
一、选择题
1.如图1,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,则CD等于()
A.3cmB.4cmC.1.5cmD.2cm
(1)
(2)(3)
2.△ABC中AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于D,则图中的等腰三角形有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图2,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作
DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:
①△BDF和△CEF
都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和;
④BF=CF.其中正确的有()
A.①②③B.①②③④C.①②D.①
4.如图3,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,角平分线AE交CD
于H,EF⊥AB于F,则下列结论中不正确的是()
A.∠ACD=∠BB.CH=CE=EFC.CH=HDD.AC=AF
二、填空题
5.△ABC中,∠A=65°,∠B=50°,则AB:
BC=_________.
6.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,要使AD∥BC,
则△ABC的边一定满足________.
7.△ABC中,∠C=∠B,D、E分别是AB、AC上的点,AE=2cm,且DE∥BC,则AD=________.
8.如图,△ABD、△ACE都是正三角形,BE和CD交于O点,则∠BOC=__________.
三解答题
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,请你试一试,你能找出多少个这样的点P?
把你找到的点标在所给的图形上.
第24题
10.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,①求证:
△BCE≌△ACD;②求证:
CF=CH;③判断△CFH的形状并说明理由.
11已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称.猜想△P1OP2是什么三角形?
并证明你的结论.
12.
如图所示,点M,N分别在等边△ABC的BC、CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q,
(1)求证:
(2)求证:
∠BQM=60°.
若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?
(只判断,不用证明)
(3)若将题中的条件“点M,N分别在等边△ABC的BC、CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,你能求得∠BQM的度数吗?
试试看.
第八部分:
中考体验
1.(2012肇庆)等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为
A.16B.18
C.20D.16或20
2.(2012江西)等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是( )
A.20°B.50°C.60°D.80°
3.(2012铜仁)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.(2012广安)已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则△ABC底角的度数为( )
A.
45°
B.
75°
C.
45°或75°
D.
60°
二.填空题
5.(2012广元)已知等腰三角形的一个内角为50°,则另两个角的度数是▲
6.(2012遵义)一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm,则这个三角形的周长为 .
7.(2012随州)等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为_______________。
8.(2012黄冈)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC点E,垂足为点D,连接BE,则∠EBC的度数为________°.
三.解答题
9.(2012肇庆)如图5,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.
求证:
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.
10.(2012益阳)如图,已知AE∥BC,AE平分∠DAC.求证:
AB=AC.
11.(2012广东)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在
(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.
12.(2010辽宁丹东市)如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).
(1)如图①,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?
点F是否在直线NE上?
都请直接写出结论,不必证明或说明理由;
(2)如图②,当点M在BC上时,其它条件不变,
(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立,请利用图②证明;若不成立,请说明理由;
(3)若点M在点C右侧时,请你在图③中画出相应的图形,并判断
(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立?
请直接写出结论,不必证明或说明理由.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 122 等腰三角形 性质 判定